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Para resolver este problema, podemos usar el concepto de derivadas en cálculo. Sabemos que el área de un círculo se calcula como $A = \pi r^2$ donde \(r\) es el radio del círculo.
Dado que el radio del círculo está aumentando con el tiempo, podemos decir que \(r = r(t)\), donde \(t\) es el tiempo. Entonces, la fórmula del área se convierte en \(A = \pi [r(t)]^2\).
Queremos encontrar la tasa de cambio del área con respecto al tiempo, que es la derivada de \(A\) con respecto a \(t\), denotada como \(\frac{dA}{dt}\).
Usando la regla de la cadena, obtenemos:
\[
\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr} \cdot \frac{dr}{dt}
\]
Sabemos que \(\frac{dA}{dr} = 2\pi r\) y que \(\frac{dr}{dt} = 3\) m/h (dado en el problema). Sustituyendo estos valores, obtenemos:
\[
\frac{dA}{dt} = 2\pi r \cdot 3 = 6\pi r
\]
Finalmente, sustituyendo \(r = 50\) m (dado en el problema) en la ecuación anterior, obtenemos:
\[
\frac{dA}{dt} = 6\pi \cdot 50 = 300\pi \, \text{m}^2/\text{h}
\]
Por lo tanto, al mediodía, el área de la mancha de petróleo está aumentando a una tasa de \(300\pi\) metros cuadrados por hora.
Step-by-step explanation:
