[tex](cos \: y \: sin \: 2x)dx + ( {cos}^{2} y - {cos}^{2} x)dy = 0[/tex]
It is of the form:-
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
So here,
[tex]M = (cos \: y \: sin \: 2x),N = ( {cos}^{2} y - {cos}^{2} - x)[/tex]
[tex] \therefore{ \displaystyle{ \frac{ {\partial}M}{ {\partial}y} = - sin \: y \: sin \: 2x}}[/tex]
[tex]N = {cos}^{2} y - {cos}^{2} x \implies \displaystyle{ \frac{{ \partial}N}{ \partial x} }[/tex]
[tex] = - 2( - sin(x)cos(x)) = sin(2x)[/tex]
So,
[tex] \large{ \frac{ \frac{ \partial M}{ \partial y} - \frac{ \partial N}{ \partial x} }{M} }[/tex]
[tex] = \frac{ - sin \: y \: sin \: 2x}{cos \: y \: sin \: 2x} [/tex]
[tex] = - \frac{ sin \: 2x(1 + sin \: y)}{cos \: y \: sin \: 2x} [/tex]
[tex] = - (sec \: y \: + \: tan \: y) = - g(y)[/tex]
[tex]I.F. = {e}^{ -\int g(y)dy} [/tex]
[tex] = {e}^{ \int (sec \: y \: + tan \: y)dy} [/tex]
[tex] = {e}^{ ln(sec \: y \: + tan \: y) + ln(sec \: y) } [/tex]
Now,
[tex]cos \: y \: sin \: 2x \: sec \: y \: (sec \: y \: + tan \: y)dx + (co {s}^{2}y - {cos}^{2} x)sec \: y \: (sec \: y \: + tan \: y)dy = 0[/tex]
[tex] = sin \: 2x(sec \: y \: + tan \: y)dx + (co {s}^{2} x)( {sec}^{2} y + sec \: y \: tan \: y)dy = 0[/tex]
[tex] = sin \: 2x(sec \: y + tan \: y)dx + (1 - {sec}^{2} y \: {cos}^{2} x + sin \: y \: - {cos}^{2} x \: sec \: y \: tan \: y)dy = 0[/tex]
So,the solution now is,
[tex] \displaystyle{\int_{(y \: const)}Mdx + \int(terms \: of \: \: N \: not \: containing \: x)dy = C}[/tex]
[tex] \int \: sin \: 2x(sec \: y \: + tan \: y)dx + \int (1 + sin \: y)dy = C[/tex]
[tex] - \frac{1}{2} cos \: 2x(sec \: y \: + tan \: y) + y = c - cos \: y[/tex]
