Respuesta :

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Answer:

[tex]\displaystyle \int {\frac{e^{3x}}{e^{6x} + 1}} \, dx = \frac{arctan(e^{3x})}{3} + C[/tex]

General Formulas and Concepts:

Algebra I

  • Exponential Rule [Powering]:                                                                       [tex]\displaystyle (b^m)^n = b^{m \cdot n}[/tex]

Calculus

Differentiation

  • Derivatives
  • Derivative Notation

Derivative Rule [Chain Rule]:                                                                                 [tex]\displaystyle \frac{d}{dx}[f(g(x))] =f'(g(x)) \cdot g'(x)[/tex]

Integration

  • Integrals
  • Indefinite Integrals
  • Integration Constant C

Integration Property [Multiplied Constant]:                                                         [tex]\displaystyle \int {cf(x)} \, dx = c \int {f(x)} \, dx[/tex]

U-Substitution

Step-by-step explanation:

Step 1: Define

Identify

[tex]\displaystyle \int {\frac{e^{3x}}{e^{6x} + 1}} \, dx[/tex]

Step 2: Integrate Pt. 1

Identify variables for u-substitution.

  1. Set u:                                                                                                             [tex]\displaystyle u = e^{3x}[/tex]
  2. [u] Differentiate [Exponential Differentiation, Chain Rule]:                         [tex]\displaystyle du = 3e^{3x} \ dx[/tex]

Step 3: Integrate Pt. 2

  1. [Integrand] Rewrite [Exponential Rule - Powering]:                                     [tex]\displaystyle \int {\frac{e^{3x}}{e^{6x} + 1}} \, dx = \int {\frac{e^{3x}}{(e^{3x})^2 + 1}} \, dx[/tex]
  2. [Integral] Rewrite [Integration Property - Multiplied Constant]:                 [tex]\displaystyle \int {\frac{e^{3x}}{e^{6x} + 1}} \, dx = \frac{1}{3}\int {\frac{3e^{3x}}{(e^{3x})^2 + 1}} \, dx[/tex]
  3. [Integral] U-Substitution:                                                                               [tex]\displaystyle \int {\frac{e^{3x}}{e^{6x} + 1}} \, dx = \frac{1}{3}\int {\frac{1}{u^2 + 1}} \, du[/tex]
  4. [Integral] Arctrig Integration:                                                                         [tex]\displaystyle \int {\frac{e^{3x}}{e^{6x} + 1}} \, dx = \frac{1}{3} \bigg[ \frac{1}{1}arctan \Big( \frac{u}{1} \Big) \bigg] + C[/tex]
  5. Simplify:                                                                                                         [tex]\displaystyle \int {\frac{e^{3x}}{e^{6x} + 1}} \, dx = \frac{arctan(u)}{3} + C[/tex]
  6. Back-Substitute:                                                                                             [tex]\displaystyle \int {\frac{e^{3x}}{e^{6x} + 1}} \, dx = \frac{arctan(e^{3x})}{3} + C[/tex]

Topic: AP Calculus AB/BC (Calculus I/I + II)

Unit: Integration

Book: College Calculus 10e